9.1 Basic Concepts in Digital Filters
数字滤波器基本概念
模拟滤波器 vs. 数字滤波器：为什么采样前还需要模拟滤波器？Analog vs. digital filters: why an analog filter is still required before sampling
数字滤波器处理的是已经采样好的离散序列 ，发生在 A/D 转换之后。但在 A/D 之前，信号还是连续时间的，往往要先经过一个模拟滤波器（由电阻、电容、运算放大器等搭成）。
它最关键的作用是抗混叠（anti-aliasing）。给定采样率 ，ADC 只能正确表示频率低于 Nyquist 频率 的成分。如果输入里含有高于 的频率，采样后它们会折叠进 频段，和真实信号叠在一起，无法分离、也无法事后纠正。
所以采样前必须用一个模拟低通（抗混叠滤波器）先把 以上的成分滤掉。这一步只能交给模拟滤波器：一旦采样完成，混叠已经发生，再强的数字滤波器也救不回来。对称地，D/A 之后通常还有一个模拟低通（重建 / 抗镜像滤波器），用来平滑阶梯状输出里的高频镜像。
下面用一个例子直观看危害：采样率 （Nyquist ），想采集的信号是 ，但输入里混有 的干扰（高于 Nyquist）。
本课程主要关心数字滤波器：即对采样后的序列 做处理。模拟滤波器只出现在 A/D 前、D/A 后这两个"边界"上，它的电路设计不在本章展开。
Digital filters act on the sampled sequence after A/D. Before A/D, an analog anti-aliasing low-pass must remove everything above the Nyquist frequency f_s/2, because aliasing is irreversible once sampling has happened. This course focuses on digital filters; analog filters appear only at the A/D and D/A boundaries.
A digital filter is a discrete-time LTI system. Its most common job is frequency selection:
keep some frequency components, suppress others. Build a 3-tone test signal below, then pick a
filter and watch what survives. The same goal can be met three ways:
an ideal brick wall (the dream), an IIR filter (feedback),
or an FIR filter (feedforward), which preview §9.2 and §9.4.
数字滤波器就是离散时间 LTI 系统，最常见的任务是频率选择。先在下方造一个三频测试信号，
再选一种滤波器看效果。采样率固定 ，
记录长度 （1 秒）。
Q1: 切到"混合出现"和"依次出现"，频谱的三根峰为什么粗细不一样？Why do the spectral peaks look sharper in mixed mode than in sequential mode?
混合模式下每个频率成分占满整整 1 秒，频率分辨率最高，每根峰几乎落在单个频点上（频率都取整数 Hz，正好对齐 DFT 频格，没有泄漏）。
依次模式下每个频率只持续 0.2 秒，等效观测时长变短。根据时频不确定性，时间越短，频谱越宽，所以每根峰被展宽成一个有旁瓣的"小山包"。两种模式峰的中心位置相同，差别在宽度。
想亲手玩"观测时长 ↔ 分辨率"，到 §5.4 DFT 谱分析演示 拉"观测时长"滑块：时间一短，两根挨近的峰就并成一个，补零也救不回。
A tone lasting 1 s gives a razor-thin line; the same tone lasting 0.2 s is broadened by the time-frequency uncertainty principle. Same center, different width. Play with it in the §5.4 spectral-analysis demo.
Q2: 在"依次出现"模式下，为什么 FIR 滤波后的蓝色脉冲会整体向右平移？In sequential mode, why does the FIR-filtered burst shift to the right?
这就是群延迟（group delay）。FIR 是因果系统，对称的 （长度 ）必然带来 个样本的延迟，即 秒。因为是线性相位，所有频率延迟相同，所以脉冲整体平移、形状不变。
对比：理想滤波器零相位，蓝线和红线对齐；IIR 相位非线性，不同频率延迟不同，脉冲不仅平移还会变形。全通的 FIR 退化为纯延迟，可以直接看到这 0.05 秒的平移。
Causal linear-phase FIR delays every frequency by M=50 samples (0.05 s), so the burst shifts rigidly. Ideal = zero phase (aligned); IIR = nonlinear phase (shift + distortion).
Q3: 理想砖墙最干净，为什么不直接用？离线处理能造出真正的理想滤波器吗？The ideal brick wall is cleanest. If I process offline (non-causal), can I build a true one?
理想滤波器的冲激响应 是一个 ，它无限长且非因果（在 也有值）。所以严格说，理想砖墙无法用因果、实时的系统实现（Paley-Wiener 定理：因果系统的幅频响应不能在一整段频率上恒为 0）。
离线呢？拿到整段信号后，因果性不再是障碍：可以做零相位、极陡的滤波，远超实时能力。但有限长度这个根本限制还在。理想 sinc 无限长，数据有限就得截断，于是出现过渡带和 Gibbs 振铃。本页"理想"档其实就是离线实现的（把 DFT 高频 bin 置零再 IFFT）：在"混合出现"模式下信号正好落在整数 Hz 频格上，看着很干净；切到"依次出现"模式，被保留脉冲的边缘就会冒出振铃，这正是截断无限 sinc 的代价。
结论：离线 ≠ 能造出真正的砖墙。能逼近得很好，但拿不到数学意义上的理想。所以工程上仍用有限阶 IIR / FIR 去逼近，方法就是 §9.2 之后的全部内容。
A true brick wall is impossible for any causal real-time system (infinite, non-causal sinc; Paley-Wiener). Offline you drop causality and can get zero-phase, very sharp filters, but finite data length still forces truncation of the infinite sinc, giving a transition band and Gibbs ringing. Offline ≠ a real brick wall; IIR/FIR still approximate it.
Q4: 上面“Ideal 理想”滤波器是用频率置零法（频率采样）近似实现的，它有没有等价的时域 ？The ideal filter above is approximately realized by zeroing DFT bins (frequency sampling). Does it have an equivalent time-domain h[n]?
有。在频域乘一个 0/1 掩膜 ，按卷积定理就等价于在时域做循环卷积 ，其中那条 就是掩膜的逆 DFT：。所以“Ideal 理想”滤波器虽然在频域就是直接把 bin 抹掉，但背后依然对应着一条真实的时域 。
为什么说“近似”？掩膜只在 个 DFT 频格上严格等于 0 或 1；频格之间（等价连续频响 ，也就是 Dirichlet 核的 DTFT）仍有起伏，过渡带宽约一个 bin。这就是教科书里的频率采样法。
以低通为例（通过 ）， 是标准的 Dirichlet 核（周期 sinc）：
它是实序列、偶对称（因此零相位）、长度为 N、非因果，中心值 。代入本页参数（，1 Hz/bin），低通 75 Hz 放行 151 个 bin，得 。
这条 Dirichlet 核，是把理想无限 周期化叠加得到的 ，当 时它就趋于上方 Q3 的那条 sinc。于是“Ideal 理想”滤波器相当于保留全部 N 个抽头（），Q3 则只取中间 个；Q3 之所以有 Gibbs 振铃，正是这一刀截短的代价。
两点提醒：其一，这是循环卷积而非线性卷积，边界有环绕，所以无法直接搬到因果、实时系统；其二，代码只重建到 ，因此“高通”其实是带限掩膜，其 是两个 Dirichlet 核之差。
把 取小一些，N 个频率采样点、以及它们之间的起伏就都看得清了。拖动下面两个滑块，对照频域的"置零"和时域的 Dirichlet 核：
Yes. Zeroing DFT bins equals circular convolution with h[n] = IDFT(mask). For an ideal low-pass it is the length-N Dirichlet kernel (periodic sinc) h[n] = (1/N)·sin(π(2Kc+1)n/N)/sin(πn/N): real, zero-phase, non-causal, full length N. It is the periodic version of Q3's infinite sinc, so the ideal setting keeps all N taps while Q3 keeps L≪N. Caveat: it is circular (not linear) convolution, so it cannot run in real time.
Q5: 同一类型下，IIR 和 FIR 的灰色 曲线形状不同，差别从哪来？Same type, but IIR and FIR |H| look different. Where does that come from?
- IIR：分母 带来极点（反馈），用很低的阶数就能换到陡峭的滚降，代价是相位非线性、可能不稳定。本页可选 2 到 8 阶 Butterworth，高阶用多个二阶节（SOS）级联实现，设计框里每节的 就是反馈系数。
- FIR：分母恒为 1，只有零点（前馈），靠加长 来变陡，所以过渡带较宽、还带纹波（截断 sinc 的结果）；好处是天然线性相位、永远稳定。
这就是为什么后面要分两章：§9.2 IIR 设计（借模拟原型 + 双线性变换）和 §9.4 FIR 设计（窗函数法）。
IIR uses poles (feedback) for a sharp knee at low order but nonlinear phase; FIR uses only zeros (feedforward), needs length for sharpness, gets ripple, but is linear-phase and always stable.