Window-Method FIR Design
窗函数法设计 FIR 滤波器
FIR 设计的招牌方法：先写出理想滤波器的无限长冲激响应（一个 sinc），再乘一个有限长窗把它截成因果、可实现的 FIR。
对称的 自动给出严格线性相位。核心权衡在窗的选择上：
窗越平滑，阻带衰减越深（旁瓣越低），但过渡带越宽（主瓣越宽）。
The signature FIR method: take the ideal filter's infinite sinc impulse response, then multiply by a finite window to make it a causal FIR. A symmetric gives exactly linear phase. The window choice trades stopband depth against transition width.
给四项指标：截止 （带通 / 带阻为两个 ）、过渡带宽 、通带纹波 、阻带衰减 。它们在下方幅频图上规定了红色禁区；sandbox 的设计强制使用这里的截止，两者始终同步。
9.2 IIR 的指标含通带边 、阻带边 ，这里用等价写法：截止 （理想 sinc 的截止、过渡带中点）加过渡带宽 ，换算即得两条带边 、。之所以这么写，是因为窗法的过渡带关于截止对称，且 直接决定长度 （窗主瓣宽 ），所以 是 FIR 更自然的参数。
FIR 窗法的特性：通带、阻带纹波由窗绑定（），所以 并非独立旋钮，设得过严会怎么加 都达不到（这正是与 IIR 的关键区别）。
| 窗 Window | 主瓣宽 Mainlobe | 峰值旁瓣 Peak sidelobe | 加窗后阻带衰减 Stopband atten. |
|---|---|---|---|
| 矩形Rectangular | -13 dB | -21 dB | |
| 三角Triangular | -25 dB | -25 dB | |
| 汉宁Hanning | -31 dB | -44 dB | |
| 汉明Hamming | -41 dB | -53 dB | |
| 布莱克曼Blackman | -57 dB | -74 dB | |
| Kaiser可调 β | 可调 | 随 β | 随 β（兼顾两者） |
Q1: 为什么截断会产生 Gibbs 振荡？Why does truncation produce Gibbs ripple?
时域相乘等于频域卷积：。理想砖墙 与窗的频谱 卷积， 的主瓣把陡边抹成过渡带，旁瓣在通带/阻带留下起伏，就是 Gibbs 振荡。矩形窗旁瓣最高（ dB），所以振荡最大；越平滑的窗旁瓣越低，振荡越小。
Multiplying in time is convolution in frequency: the ideal brick wall is smeared by the window's spectrum. Its mainlobe widens the edge into a transition band; its sidelobes leave ripple, the Gibbs phenomenon. The rectangular window has the tallest sidelobes, hence the worst ripple.
同根同源：这正是 5.4 谱分析里"数学直观"讲的同一回事，时域乘窗 = 频域与窗谱卷积。区别只在被窗的对象：那里窗截断的是信号，后果是频谱泄漏（主瓣展宽、旁瓣抬起）；这里窗截断的是滤波器的冲激响应，后果是过渡带（主瓣）与 Gibbs 纹波（旁瓣）。同一套主瓣 / 旁瓣机制，换了对象。→ 打开 5.4 谱分析的"数学直观"折叠卡。
Same root as the "intuition" card in §5.4 spectral analysis: time-domain windowing is frequency-domain convolution with the window spectrum. There the window truncates a signal (spectral leakage); here it truncates the filter's impulse response (transition band from the mainlobe, Gibbs ripple from the sidelobes).
Q2: 主瓣和旁瓣分别决定什么？What do mainlobe and sidelobe each control?
主瓣宽度决定过渡带宽度：主瓣越宽，过渡带越缓；主瓣宽与 成反比，所以加大 能压窄过渡带。 旁瓣高度决定阻带衰减（与通带纹波）：旁瓣越低，阻带越深。 关键在于：旁瓣高低只由窗的形状决定，几乎与 无关，所以加大 不会改善阻带衰减，只会变窄过渡带。要更深的阻带必须换窗。
Mainlobe width sets the transition width and shrinks as N grows. Sidelobe height sets the stopband attenuation (and passband ripple) and depends on window shape, not N. So increasing N narrows the transition but does not deepen the stopband; for that you must change the window.
Q3: 为什么过渡带关于截止 对称？对任何窗都成立吗？Why is the transition symmetric about Ωc? For any window?
还是"时域乘窗 = 频域卷积"：。在截止附近，理想砖墙就是一个阶跃，而阶跃卷一个核 = 核的累积积分。只要窗谱 实偶，就有恒等式 ：过渡曲线关于点 反对称。于是 ， 关于 对称（即 ）；同一条恒等式还顺带给出 ，正是"通带、阻带纹波由窗绑定"的根。
条件只有一个： 实偶，它等价于窗在时域对称（，也就是线性相位）。所有标准窗（矩形、三角、汉宁、汉明、布莱克曼、Kaiser）都对称，所以全都成立；只有非对称窗（罕见，如刻意做成最小相位的窗）才会破坏对称。另外这是"近边沿"的近似：当 太贴近 / ，或两条带边靠太近时，会有极小偏差。
The window method gives H = H_d * W. Near the edge the ideal wall is a step, and a step convolved with W is the running integral of W. If the window spectrum W is real and even, then H(Ωc+δ)+H(Ωc-δ)=1: the transition is point-symmetric about (Ωc, 1/2), so Ωp and Ωs sit symmetrically about Ωc (Ωc=(Ωp+Ωs)/2) and δp=δs. "W real and even" just means the window is symmetric in time (linear phase). All standard windows are symmetric, so it always holds; only an asymmetric window breaks it. It is a near-edge approximation, with tiny deviations when Ωc is very close to 0 or π.
Q4: 为什么低通、带阻必须 取奇数？Why must N be odd for LP and BS?
偶对称且 为偶数（二类线性相位）时，振幅响应在 处恒为零（），所以在 附近必须通过的高通、带阻做不了。要在 有非零增益，就得 奇（一类线性相位），它对 都偶对称，四类都能实现。详见 线性相位四类与可实现性。
With even symmetry and even N, the amplitude response is forced to zero at Ω=π, so high-pass and band-stop (which must pass π) are impossible. Odd N (Type I) is even-symmetric about both Ω=0 and π, so all four types work. See the linear-phase bonus page.
Q5: MATLAB 里 做的就是这件事吗？Is this what MATLAB's fir1 does?
是。 正是"理想 乘窗"，其中 是阶数， 是归一化截止（以 为单位）， 是长度 的窗向量（默认汉明）。本页的曲线就是 的结果。频率采样法 与等波纹 是另外两条 FIR 设计路线。
Yes. fir1(M,Wc,'ftype',window) is exactly "ideal h_d times window," with M=N-1 the order, Wc the normalized cutoff (in units of π), and a length-(M+1) window vector (Hamming by default). fir2 (frequency sampling) and firpm (equiripple) are the other two FIR routes.