8.1 Mathematical Model of the System
系统的数学模型
ODE / Δeq → Transfer Function Sandbox 系统方程到传递函数
A 2nd-order proper LTI system is fully described by 5 coefficients. The same coefficients give
you (1) the differential/difference equation, (2) the polynomial-ratio form of
/,
(3) the zero-pole product form, and (4) the partial-fraction expansion;
the partial fraction is what builds /
.
二阶 proper LTI 系统由 5 个系数完全决定。下面的四种表示同步显示，系数变化时它们一起更新。
Q1: 为什么 H 的极点决定 h(t) 的"形状"，而零点只影响"幅度+相位"？Why do poles set the shape of h(t) while zeros only modulate amplitude/phase?
部分分式给出 ， 逆 Laplace 变换得到 。 每一个极点 直接出现在指数函数里， 它的实部决定衰减速度，虚部决定振荡频率。零点不出现在指数里，它们只通过 （残数）影响每个模式的权重。
这就是为什么"换零点"信号会变响/变安静，"换极点"信号会从平滑变振荡或从稳定变发散。
Partial fractions show each pole appears in an exponential, while zeros only modulate residues (weights). Pole real part = decay rate, pole imag part = oscillation frequency.
Q2: CT 的"稳定 ⇔ 极点在左半平面"和 DT 的"稳定 ⇔ 极点在单位圆内"为什么是同一个规则？Why is "LHP stable" (CT) the same rule as "inside unit circle" (DT)?
稳定的本质是当 t → ∞ 或 n → ∞ 时，每个模式衰减到零。
- CT：模式是 ，衰减 ⇔ ⇔ ⇔ 极点在左半平面
- DT：模式是 ，衰减 ⇔ ⇔ ⇔ 极点在单位圆内
映射 把 s 平面的左半部分映射到 z 平面的单位圆内，这是同一条规则在两个域的不同坐标。
Stability means each mode decays. CT mode is ept (LHP), DT mode is pn (|p|<1). The map z = esT sends LHP to unit disk.
Q3: 同一组系数 在 CT 模式下稳定，切到 DT 模式却不稳定。这怎么可能？How can the same (a₁, a₀) be stable in CT but unstable in DT?
因为"稳定边界"在 s 平面是虚轴，在 z 平面是单位圆，形状完全不同。 根的位置由系数决定，但"哪算稳定"的标准在两个域里是不同的几何曲线。
例如 给出极点 ：
- CT 看：实部 −0.75 < 0，在 LHP，稳定
- DT 看：模长 ，正好在单位圆上，临界不稳定
所以"复制同一份方程到 CT/DT"没有意义；要根据域来设计系数。
CT and DT have different stability boundaries (imag axis vs unit circle). Same coefficients ⇒ same root coordinates, but the "stable region" geometry differs.
Q4: 三种等价表示分别擅长回答什么问题？What questions do the 3 representations of H best answer?
- 多项式比 B/A：最接近物理实现（差分方程系数 = 直接 II 型滤波器的乘加单元），适合写代码和电路实现。
- 零极点积 K · Π(s−z)/Π(s−p)：几何直觉最强，在 s/z 平面上看一眼就知道稳定性、频响主峰、滤波器类型。
- 部分分式 Σ c_i/(s−p_i)：唯一能直接读出时域 h(t)/h[n] 的形式，每一项对应一个时域模式（指数 / 振荡）。
三种形式之间的转换就是 Chapter 6/7 反复练的"换坐标系"。
Poly: matches implementation. Zero-pole: best geometric intuition. Partial fraction: direct path to time-domain h.